2021. 05. 29. 127 Views Az a egész szám többszöröse a b egész számnak, ha van olyan egész szám, amellyel b-t megszorozva a-t kapunk. Tehát a többszörös az egész számmal történő szorzása valamely számnak. [1] Szemléletesen tehát arról van szó, hogy a b számot a-szor összeadjuk önmagával. Ily módon azonban a 0-val és 1-gyel való többszörözés nem, vagy nehezen értelmezhető. A többszörösség az oszthatóság megfordított (inverz) relációja: hogy a többszöröse b-nek, az pont ugyanazt jelenti, mint hogy b osztója a-nak. Tanító: Horváth Anikó Értékelő/ konzulens Ozorák Erika 96
Tanítási gyakorlaton (igaz, hogy általános iskolában) a számelmélet témakörével foglalkoztunk matematikaórán. Lehetőségem volt kipróbálni a különböző motivációs eszközöket, módszereket, azonban úgy vettem észre, hogy maga a tananyag milyensége az, ami a legjobban motiválta a diákokat. Maga a számelmélet olyan hatással volt a tanulókra, 17 amire egy másik témakörnél nem, vagy csak kevéssé lett volna lehetőség. Mindig jelentkeztek, állandóan szerepelni szerettek volna. Érdekesnek találták a feladatokat, és nagy örömmel oldották meg a bonyolultabb, összetettebb szöveges feladatokat is. Látszott rajtuk, hogy élvezik a matematikaórát, és csalódottak voltak, ha egy-egy feladatot nem tudtunk befejezni az óra végéig. Ebből is látszik, hogy maga a számelmélet milyen nagy motiváló hatással van a diákokra 18 2. A számelméleti fogalmak előkészítése 2. 1. Alsó tagozat Már alsó tagozaton elkezdődik, és 5. osztályban tovább folytatódik a fogalomrendszer megalapozása (elemi szint). E szakasz jellemzői a játékosság, a manipuláció, a rajzos színes ábrákhoz kapcsolódó feladatok megoldása, a tapasztalatszerzés.
Ha az ott leírt alapelveket nem tartjuk – és nem tartatjuk – be, akkor gondolkodásfejlesztő munkánkba hiba csúszik. Ilyen hibák lehetnek dr. Vörös György csoportosítása szerint: • készen nyújtott fogalmak nem teremt erős ismeretbázist kifogásolható kérdésfelvetés rutinfeladatok túlzott használata időzavar problémája nem differenciál magatartásbeli fogyatékosságok A számelmélet tanítása során előforduló alapfogalmak közül ki kell emelni az oszthatóság, a prím- vagy törzsszám, az összetett szám fogalmának kialakítását. Fontos az, hogy a tanuló tisztában legyen az alapfogalmakkal, tudja a számelmélet alaptételét, meg tudja határozni kettő vagy több szám legnagyobb közös osztóját, legkisebb közös többszörösét, el tudja dönteni számokról, hogy azok relatív prímek vagy sem. Alapkövetelményként szerepel még az oszthatóság és az oszthatósági szabályok ismerete is. A számelméleti fogalmak kialakítása során fontos, hogy többlépcsős absztrakciót alkalmazzunk, feladatok megválasztásánál szem előtt tartsuk sokoldalú tapasztalatszerzést és a fokozatosság elvét.
Már például az ókori Eukleidész, Pitagorasz (Kr. e. 582 – 496). A pitagoreusok szerint az "egy" a számok eredete, amely részekre nem bontható, amelyet osztani nem lehet, csak szorozni. Így az egynél kisebb szám nincs. Az egynél nagyobb számok az egyből keletkeznek, annak megsokszorozásával. Erasztothenész foglalkoztak számelméleti problémákkal. A mai számelmélet lényegében a számokról és számolásról szerzett évszázados tapasztalatok tudományos eredménye. Bizonyos részei a matematika igen komoly fejezeteivé váltak, tudományos nyelvezetük a diákok számára nehéz. Más területei viszont a számokkal való játékok során szórakoztatóak és közérthetőek. Ennek következtében sok eleme az alapfokú oktatás anyagába beépíthető. Az additív számelmélet egyik központi problémáját, például a Goldbach-sejtést, konkrét számok prímszámok összegeként történő előállításával a tanulók képesek megérteni. Kiváló matematikusok így vélekednek a számelméletről: Erdős Pál: "A számelmélet azért is érdekes fejezete a matematikának, mert olyan problémákat fogalmaz meg, amit egy csecsemő is képes megérteni, de még a legnagyobb matematikus sem tud megoldani. "
4. Euklideszi algoritmus.............................................................................................. 41 Euklideszi algoritmus......................................................................................................... 41 4. Kapcsolódási lehetőségek............................................................................................... 44 4. Halmazok, logika....................................................................................................... 2. Relációk, függvények................................................................................................. 44 4. 3. Mérés, geometria....................................................................................................... 45 4. 4. Számtan, algebra....................................................................................................... 5. Kombinatorika........................................................................................................... 45 5.
A első esetbe a diák valószínűleg passzív befogadó lesz, elfogadja a tanári magyarázatot. Második esetben a tanuló aktívan részt vesz a feladat megoldásában, sejtést fogalmaz meg, majd tanári segítséggel megoldja. 8 3) Kitekintés az egységet megelőző és követő célrendszerre Az ismeretek rendszere, egymásra-építettsége, az induló szint és a végeredmény az, amit szem előtt kell tartanunk. 4) A tananyag elemzése a témakörök fontossága szemszögéből Minden tanulóval megtanítani mindent nem lehet. A tanárnak okosan kell választani, figyelembe véve, hogy mik a továbbhaladás követelményei, milyen a tanulók irányultsága, milyen a tanulók képessége stb. 5) A tanulási tevékenység elemzése Meg kell nézni, hogy melyik tanulónak, milyen szinten szükséges és melyiknek nem a tárgyi tevékenység, melyik tanuló igényel segítséget, melyik nem stb. 6) Módszerek, munkaformák, eszközök Az iskola felszereltsége, a tanulók szintje, a tanárok felkészültsége megszabja, hogy melyik osztályban lehet és milyen szinten csoportmunkát alkalmazni, hol van lehetőség és szükség egyéni foglalkoztatásra, hol képes a tanuló önálló munkára és hol tud csak tanári segítséggel továbbhaladni.
Ha a | b, akkor a | bd, azaz ha egy a szám egy b számnak osztója, akkor a b szám többszörösének is osztója. Ez általánosabban: ha a | b és c | d, akkor ac | bd. Ugyanis, ha a | b, akkor b | aq (q ∈ N), és ha c | d, akkor d = cq' (q' ∈ N). Szorzatuk bd = acqq'. Mivel qq' ∈ N, valóban ac | bd. Például: 17 | 51 és 11 | 99-ből következik 17 · 11 | 51 · 99, azaz 187 | 5049. 6. Ha a | 1, akkor a = 1. A definíció alapján aq = 1 (q ∈ N). Azt is tudjuk, hogy a ≤ 1, emiatt csak a = 1 állhat fenn. 7. Ha a | b és b | a, akkor a = b. Az osztó fogalmából következik, hogy most a ≤ b és b ≤ a. Ez csak úgy lehet, hogy a = b. Az 1-nek egyetlen osztója van (ez az 1), minden más számnak legalább két osztója van. Mivel 1 és önmaga (azaz két szám) az 1-en kívüli bármely természetes számnak osztója, ezért az ezeken kívüli osztók keresése lehet további kérdés. 26 Egy szám 1-en és önmagán kívüli osztóit a szám valódi osztóinak nevezzük, 1 és a az a számnak nemvalódi osztói. Oszthatósági szabályok Az oszthatósági szabályokkal már iskolában találkoztak diákok, középiskolában azonban újra átismételik azokat, de csak felületesen.